Doktorské
studium v oboru Geometrie a globální analýza
Zkuąební otázky pro
státní doktorskou zkouąku doktorského studijního programu
"Geometrie a globální analýza":
- Základy analýzy na varietách. Algebra hladkých funkcí. Vektorová a tenzorová pole, Lieova závorka, integrabilní distribuce. Vnějąí formy, integrování na varietách, Stokesova věta. Tok vektorového pole, Lieova derivace. Základy teorie Lieových grup a Lieových algeber. De Rhamovy kohomologie. Základy Riemannovy geometrie. Prostory jetů. Základy variačního počtu.
- Teorie Lieových grup a algeber. Lieovy grupy a podgrupy, Lieovy algebry, jejich ideály. Reprezentace Lieových grup a algeber, G-moduly a g-moduly, jejich souvislosti. Nilpotentní, řeąitelné a polojednoduché algebry. Základy strukturní teorie jednoduchých algeber a jejich reprezentací, váhy a kořeny. Příklady v komplexním i reálném oboru, klasické série.
- Homologická algebra. Moduly, řetězcové komplexy, exaktnost, rezolventy a derivované funktory, Tor a Ext. Bikomplexy, spektrální posloupnosti. Homologie a kohomologie některých algebraických struktur.
- Algebraická topologie. Metoda algebraické topologie. Singulární homologie a kohomologie, buněčné komplexy a jejich (ko)homologie. Homotopie a homotopické grupy, nakrytí a univerzální nakrytí. Zobecněné homologické a kohomologické teorie, spektrální posloupnosti. Svazky, abstraktní de Rhamova věta.
- Riemannova geometrie. Diferenciální geometrie vnořené podvariety v euklidovském prostoru, základní formy a rovnice. Variety s afinní konexí, geodetiky, tenzor křivosti a torze. Riemannova metrika, metrická konexe, základní identity. Prosty konstantní křivosti. Gaussova-Bonnetova formule.
- Aplikace diferenciální geometrie v matematické fyzice. Geometrické základy obecné teorie relativity. Symplektické variety, Poissonovy variety, Hamiltonův formalismus, Liouvilleova věta, proměnné akce - úhel. Variační počet, Eulerovy--Lagrangeovy rovnice, invariance a pohybové integrály, věta Noetherové.
- Geometrická teorie diferenciálních rovnic. Prostory jetů, Cartanova distribuce, formální integrabilita. Bodové, kontaktní a vyąąí symetrie, Lieova algebra symetrií. Zákony zachování, horizontální kohomologie. Nakrytí, nelokální symetrie a zákony zachování, Bäcklundovy transformace, reprezentace nulové křivosti. Operátory rekurze, Hamiltonovy struktury, úplná integrabilita.
Student zvolí tři z těchto sedmi okruhů podle svého zaměření. Oborová komise můľe na návrh ąkolitele uvedenou nabídku roząířit.